quarta-feira, 24 de novembro de 2010

AS POSSIBILIDADES DIDÁTICAS DO CINEMA PARA MATEMATICA EM SALA DE AULA – DIMENSIONS E NÚMEROS COMPLEXOS


Cássio Marcelo Reis Pereira

Discente do Curso de Lic. Plena em Matemática

Orientador: Andréia Dalcin

Credenciamento: Mestrado em Educação.
Linha de Pesquisa: Educação em Ciências e Matemática.
Grupo de Pesquisa em Educação Matemática.

Doutora em Educação pela Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Temática de Pesquisa: História da Educação Matemática no Brasil / Filosofia da Educação Matemática / Livros didáticos e paradidáticos de Matemática / Educação a Distância mediada por ambientes virtuais de aprendizagem.

RESUMO


Este trabalho apresenta os elementos que constituem a estrutura do trabalho da disciplina Prática IV - Seminários de Matemática Aplicada e Pesquisa em Ensino, bem como apresenta de forma geral as regras de apresentação, o resumo, a citação no texto e as referências. As orientações aqui apresentadas baseiam-se na norma para apresentação de artigo científico, a NBR 6022 de 2003 tendo como base o texto “Como elaborar um artigo cientifico” da Universidade de Santa Catarina.

Palavras-chave: Cinema; Educação; Matemática ; Sala de aula; Dimensions .

1. INTRODUÇÃO


Segundo John Grierson, “o cinema de documentário era uma ótima ferramenta de educação”. Grierson, considerado um dos principais nomes da história dos primórdios do documentário, talvez não visse o enorme salto que esta arte, o cinema, deu em séculos.

Hoje, é possível se encontrar produções que falem diretamente sobre temas didáticos ou até de temas específicos de uma matéria. "Língua – Vidas em Português” de Victor Lopes (2001), “Mr. Holland Opus” de Stephen Herek (1995), “Homo Sapiens” de Peter Cohen (1900), respectivamente, são exemplos de abordagem da Língua Portuguesa, Educação Musical e das Ciências Físicas e Biológicas, no cinema.

Quando nos vimos, estávamos diante de um montante de filmes feitos para o cinema, que abordavam diversos temas de sala de aula, e que podem ser utilizados como ferramenta na educação. E também de um idêntico montante de discussões sobre “usar”, “se usar” e “por que usar” tais ferramentas em sala. A validade das discussões sempre esbarram na arcaica necessidade de tornar o professor único e onipresente.

Ora, somos , os professores, nada mais que ferramentas de ensino; peões que dispõe de um conhecimento um pouco mais aprofundado que os espectadores, e está ali para guiar as descobertas que nossos pupilos devem ter.

Educação “dada” não é o mesmo que “ensinada”.

O cinema como ferramenta já vem sendo discutido com mais freqüência nos últimos anos, e se , ferramentas existem e devem ser utilizadas, porque não fazê-las com tal arte? Com o mesmo cuidado que temos para selecionar o conteúdo e o material de uma aula, entra aí o cinema, pedindo acesso a este ambiente, a fim de deixar de ser “o irmão pobre” da internet e virar o jogo. Já não era sem tempo!

2 BREVE HISTÓRIA DO CINEMA


O que nos é muito comumente hoje conhecido como cinema, tem em sua origem histórica muitas discussões e idéias desencontradas. O cinema a priori possui esse nome por se por se derivar da palavra CINEMATÓGRAFO, que foi criado por Leon Bouly em 1895 e aperfeiçoado pelos irmãos Lumière na mesma época. As primeiras produções cinematográficas por assim dizer, não possuíam nenhumas das características que hoje, os amantes do cinema, conhecem tão bem: edição, roteiro, fotografia, dentre outros eram coisas inexistentes... o que se queria era contar uma história, pequena ou longa, interessante aos nossos olhos ou não.

Mas ainda assim tudo no cinema era interessante, como uma expressão algébrica bruta, que ao se desenvolver se transforma em um belíssimo resultado.

Derivando-se da criação da fotografia, o cinema foi uma das invenções que mais saltaram aos olhos do homem: ver pessoas, animais , máquinas em movimento em película, era como reproduzir a realidade na parede, e isso era uma revolução.

Considerado como 7ª arte (veremos isso daqui a pouco) o cinema até hoje, é uma arte que diverte e expande nossos conhecimentos.

A primeira exibição oficial de um filme ocorreu em 28 de dezembro de 1895, no subterrâneo do Grand Café , em Paris. Numa série de 10 filmes, cada um com a duração de 40 a 50 segundos, os irmãos Lumiére, mostraram pela primeira ao mundo, o Mundo. Mesmo que em produções muito intimistas e de certa forma caseira, o que se viu neste dia foi o que os rodeava, de certa forma. Os filmes até hoje mais conhecidos desta primeira sessão chamavam-se "A saída dos operários da Fábrica Lumière" e "A chegada do trem à Estação Ciotat", cujos títulos exprimem bem o conteúdo. E era isso mesmo: filmou-se a saída de trabalhadoras de uma fabrica e um, trem em movimento chegando a estação.

Mas, como toda obra que surpreende ao se apresentar, perguntava-se , como uma fotografia poderia estar em movimento?

Verificou-se desde então, o que conhecemos até hoje, a construção do quadro a quadro. Com o aparelho cinematografo em mãos, foram, fotografadas várias vezes cada ação, numa rapidez “impressionante” de 16 quadros por segundo. Daí o que se fez foi , colocar estas fotos em seqüência e acelerá-las numa velocidade que desse a impressão de movimento; Nascia aí o cinema. Nascia ai também, uma técnica que foi exaustivamente explorada e aperfeiçoada pelo homem ( quem nunca desenhou no canto de seu caderno vários bonequinhos e ao folheá-lo , verificou que o mesmo estava em movimento?).

Quando vemos hoje um “Senhor dos Anéis” ou mesmo “Chinatown”, não podemos imaginar no momento, o quanto se foi feito para se chegar a uma simples filmagem. E o que dizer da filmagem digital, que trabalha com pixels? Mas isso é outra discussão.

3. O CINEMA COMO ARTE


O cinema é um artefato cultural criado por determinadas culturas, que refletem as mesmas e, por sua vez, as afetam. O cinema é considerado uma importante forma de arte, uma fonte de entretenimento popular e um método poderoso para educar - ou doutrinar - os cidadãos . Os elementos visuais dão aos filmes um poder de comunicação universal. Alguns filmes se tornaram mundialmente populares ao usarem técnicas de dublagem ou legendas, que traduzem o diálogo.

O termo sétima arte para designar o cinema foi dado por Ricciotto Canudo no Manifesto das Sete Artes[1], em 1911 (publicado apenas em 1923). Ricciotto Canudo foi um teórico e crítico de cinema pertencente ao futurismo italiano, que se destacou por sua preocupação teórica sobre a realidade do cinema e suas possibilidades em um futuro de maior evolução técnica. Em 1911 publicou em Paris um artigo intitulado "La Naissance d'un sixième art. Essai sur le cinématographe", considerado como o primeiro texto no qual se define o cinema como uma arte, a sétima arte, na qual se resumem as demais artes. Cada uma das artes é caracterizada pelos elementos básicos que formam sua linguagem e classificadas da seguinte forma:

1ª Arte - Música (som);

2ª Arte - Dança/Coreografia (movimento);

3ª Arte - Pintura (cor);

4ª Arte - Escultura (volume);

5ª Arte - Teatro (representação);

6ª Arte - Literatura (palavra);

7ª Arte - Cinema (integra os elementos das artes anteriores mais a 8ª e no cinema de animação a 9ª).

Outras formas expressivas também consideradas artes foram posteriormente adicionadas ao manifesto:

8ª Arte - Fotografia (imagem);

9ª Arte - Banda desenhada (cor, palavra, imagem);

10ª Arte - Jogos de Computador e de Vídeo (alguns jogos integram elementos de todas as artes anteriores somado a 11ª, porém no mínimo, ele integra as 1ª, 3ª, 4ª, 6ª, 9ª arte somadas a 11ª desde a Terceira Geração dos Videogames);

11ª Arte - Arte digital (integra artes gráficas computadorizadas 2D, 3D e programação).

A preocupação de Canudo sobre o futuro da arte cinematográfica, recaiu sobre pensadores futuros e contemporâneos a nós de uma forma um pouco diferente. Se para ele , a técnica era uma interrogação, para muitos , que já entendiam décadas depois sobre o mote, esta era a aplicabilidade da arte como forma de ensino.

Afinal de contas, a arte é uma forma de aprendizagem? Ela a deve ser?

Walter Benjamin (1892 — 1940) ensaísta, crítico literário, tradutor, filósofo e sociólogo judeu alemão) tinha seu ensaio “A Obra de Arte na Época de sua Reprodutibilidade Técnica” a primeira grande teoria materialista da arte. Ele tratou de discutir a perda da aura da arte. Esta aura, nada mais era que a questão originalidade, que , em algumas discussões, perdia sua força e existência devido a reprodução. Com o progresso da reprodução, principalmente no cinema, a aura, desapareceria quase que por completo. E não estava tão errado assim: muito do que vemos hoje pode ser considerado de cópia de algo bem original do passado, haja visto os “enlatados” e os famosos “remakes”. Para Benjamin quando a arte perdia tal status, perdia também sua força de convencimento , de entretenimento. De acordo com Walter Benjamin “A perda da aura e as conseqüências sociais resultantes desse fato são particularmente sensíveis no cinema, no qual a reprodução de uma obra de arte carrega consigo a possibilidade de uma radical mudança qualitativa na relação das massas com a arte.”

Benjamin ainda salienta:

Embora o cinema exija o uso de toda a personalidade viva do homem, este se priva de sua aura. Se, no teatro, a aura de um MacBeth, por exemplo, liga-se indissoluvelmente à aura do ator que o representa, tal como essa aura é sentida pelo público, fico, o mesmo não acontece no cinema, no qual a aura dos intérpretes desaparece com a substituição do público pelo aparelho. Na medida em que o ator se torna acessório da cena, não é raro que os próprios acessórios desempenhem o papel de atores.

Segundo suas idéias, a beleza imposta aos olhos pela natureza, não é a mesma exposta pela câmera, e isso ia de encontro ao pensamento materialista. Mas, “por outro lado, esse processo contém um germe positivo, na medida em que possibilita outro relacionamento das massas com a arte, dotando-as de um instrumento eficaz de renovação das estruturas sociais” dizia Benjamin.

Massificar a arte do cinema, parece uma questão distante da necessidade humana. Como não, então, utilizar de seus feitos para aprimorar a aprendizagem.

Isso já é , ou já foi, feito várias vezes pelo gênero documentário, que apresenta fatos e muitas vezes nos faz pensar, mesmo que direcionado retamente a um assunto apenas. Alienando ou não, o fato é que , ao assunto abordado, nos serve quando nos interessa.

E se aleatoriamente nos fosse apresentado um filme que abordasse , ou que citasse, a matemática como ciência, ou suas derivações já desenvolvidas ? Despertaria-nos a curiosidade de ir alem e discutir? De pesquisar e aprimorar nosso conhecimento?

4. CINEMA E EDUCAÇÃO


No Brasil, no começo do século XX, iniciou-se uma discussão sobre a aplicabilidade do cinema na educação.

Através de publicações da imprensa e em revistas especializadas de diversos setores, educadores, cineastas e diversos outros profissionais desenvolveram uma intensa reflexão sobre os usos do cinema, como um instrumento a serviço da educação do homem. O pensamento católico também se dedicou à questão do cinema educativo, preocupado com a questão moral dos filmes exibidos. A Igreja criou os Cineacs, salas de cinema nas paróquias e associações católicas, que tinham por objetivo apreciar os filmes segundo as normas traçadas pela Igreja .

Estes trabalhos deram origem a criação do Instituto Nacional de Cinema Educativo, o INCE, dirigido por Roquette-Pinto, e tendo o cineasta Humberto Mauro como técnico do Instituto. Entre 1936 e 1964, Mauro realizou 357 filmes pedagógicos e científicos. Nas décadas de 30 e 40, principalmente, os filmes produzidos tinham o objetivo de retratar o Brasil, mostrando a natureza exuberante e o homem primitivo.

Na mesma década de 20, a idéia de usar o cinema como instrumento pedagógico já era difundida por vários países do mundo (Estados Unidos, Alemanha, França, Canadá, União Soviética etc.). Marc Ferro, historiador francês nascido em 1924, afirma, ao analisar a relação entre cinema e o poder soviético, que

expressões como "apoderar-se do cinema", "controlá-lo", "dominá-lo" encontrava-se facilmente entre os altos escalões do governo soviético. Na URSS, "o cinema educativo, o cinema científico e de animação ocupam um lugar privilegiado no programa cultural (...) o documentário, o cinema 'para os camponeses', o documento-cinema são considerados igualmente como essenciais.

Há de ser levado em conta o interesse primordial das nações ao vincular o cinema à educação, visto ser uma ferramenta de extrema facilidade de absorção e que não requer grandes formações educativas. A Alemanha nazista e a Itália fascista investiram tanto nesta idéia que, no Brasil, os governos compraram a idéia em sua totalidade, ou seja, cinema para educar e controlar.

5. O FIM DO INCE


Fundado em 1936 por Roquete Pinto, o Instituto Nacional do Cinema Educativo (INCE), deixou de sê-lo a partir de 1956, com o Instituto Nacional de Cinema (INC) que se preocupou em estimular a produção e exibição de filmes brasileiros. A partir daí, o empenho em vincular educação ao cinema ficou em segundo plano, e a busca de recursos para realização de filmes comerciais tomaram mais importância.

Um sonho de Roquete Pinto que se foi, não sem antes dispor de uma memorável citação. Em Instituições Brasileiras de Cultura, no capítulo sobre o Ministério da Educação e Saúde, do número especial, de 1945, de Adalberto Mário Ribeiro, Roquete Pinto afirma:

....o verdadeiro cinema educativo é outro, o grande cinema de espetáculo, o

cinema de vida integral. Educação é principalmente ginástica do sentimento de

aquisição de hábitos e costumes de moralidade, de sociabilidade, de trabalho,

e até mesmo de vadiação Tem de resultar do atrito diário da personalidade

6. AS POSSIBILIDADES DIDÁTICAS DO CINEMA PARA A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA.


Utilizar filmes em sala de aula depende de várias etapas anteriores à apresentação dos mesmos. Uma dessas etapas é a utilização de conteúdos cinematográficos dentro de conteúdos didáticos, estabelecendo assim uma troca racional: se o aluno esta acostumado a ver cinema dentro do conteúdo didático, ele saberá como ver conteúdo didático em cinema.

No entanto segundo João Luis de Almeida Machado, Doutor em Educação pela PUC-SP e Mestre em Educação Arte e Historia da Cultura pela Universidade Presbiteriana Mackenzie (SP) “o elemento mais importante está relacionado à aplicação do filme durante as aulas, ou seja como o professor pode orientar a ação dos alunos para que os melhores resultados possíveis possa ser atingidos”.

Cabe então a utilização de um planejamento prévio, onde o professor tenha definido os objetivos relativos à utilização do filme. Se a película será utilizada na integra ou apenas trechos, qual a relação entre o filme e o conteúdo, que elementos devem ser destacados antes, durante e depois da exibição, e, finalmente as atividades que serão realizadas em sala de aula junto ou não aos materiais de apoio, para que o referencias não sejam perdidos.

João Luis de Almeida Machado diz,

Sempre trabalhe filmes que estejam associados aos conteúdos escolares que estão previstos em seu planejamento e, de preferência, defina a utilização de produções cinematográficas no início do ano, como parte dos recursos e referenciais previstos em sua programação.

O que se quer normalmente é que as aulas sejam dinâmicas e atraentes para os estudantes. Para isso é4 necessários que se organizem atividades que façam com que o aluno participe diretamente de todo processo que envolve tal exibição. Isso se torna mais plausível quando se trabalha com grupos de alunos e daí a importância da organização e novamente um prévio planejamento.

É importante também estipular aulas expositivas antes e depois do filme ser exibido, para que a idéia não fique perdida ou erroneamente interpretada. Segundo João Luis de Almeida Machado em sua obra “Na Sala de Aula com a Sétima Arte – Aprendendo com o Cinema" de 2008, as aulas expositivas, que são apresentadas antes do uso dos filmes, tem o propósito de definir um panorama geral do tema que está sendo estudado. Através disso o aluno terá condições de comparar textos, informações, artigos e matérias de jornais ou até mesmo sites sobre o assunto alvo. Sobre isso João de Almeida Machado diz: “Associar os filmes a recursos adicionais às aulas, como artigos de jornais, revistas, materiais obtidos na internet, leitura de livros paradidáticos, música ou literatura reforça ainda mais o trabalho de conteúdos na escola”.

O compromisso de disponibilizar esses recursos é do professor, mas ele pode difundir a idéia entre os alunos e utilizar os grupos para uma busca mais quantitativa. Porém cabe ao mestre, estipular a parte qualitativa do todo.

As aulas expositivas, no fim e no começo do filme, podem ser inseridas no meio da projeção, caso o professor queira salientar um assunto que eventualmente tenha aparecido. Mais uma vez vemos a necessidade de um planejamento prévio onde a duração do filme pode ter seu tempo fragmentado em disposição às metas do professor.

Deve-se evitar aos estudantes fazer anotações durante a apresentação do filme, pois isso desvia a atenção deles para os detalhes do filme, que naquele momento é o objeto principal de avaliação.

Os filmes também podem e devem ser utilizados para o exame de questões sociais. Esse trabalho deve inclusive levar os professores a discutir os temas a partir da noção de mundo dos alunos, estimulando uma participação mais ativa dos mesmos nos estudos.” (João Luis de Almeida Machado)

O professor pode apresentar mais de uma vez um mesmo trecho do filme, se achar importante o reforço e a discussão daquele tema abordado ali.

A utilização de grupos de alunos tem por objetivo maior a troca de idéias entre os educandos, despertando assim uns nos outros o interesse pela apresentação e a realização de uma discussão e posteriormente de um texto onde todos, espera-se, quererão dar sua opinião.

7. FILMES QUE FALAM DE MATEMATICA



Na busca de filmes que falavam de matemática, ou de temas relacionados, encontrou-se grande numero de produções, algumas que falavam pouco da ciência em questão; outras que a citavam ; e até mesmo algumas que trabalhavam seria e diretamente com temas matemáticos .

Há de se levar em consideração a aplicabilidade destas produções em sala aula, observando a faixa etária dos alunos e sua conseqüente absorção dos temas. E ainda, se tal tema é realmente abordado , que de alguma forma, dê ao professor a possibilidade de vinculá-lo ao tema objetivado.

Aqui estão alguns exemplos, e uma breve avaliação de sua aplicabilidade em sala:

PI é um filme de ficção científica dos Estados Unidos de 1998, realizado por Darren Aronofsky. Nele conhecemos Max, um homem brilhante e atormentado, que está prestes a fazer a mais importante descoberta de sua vida: decodificar o padrão numérico por trás do mercado de ações. À medida que vai se aproximando da solução, o caos vai engolindo o mundo à sua volta. Ele é perseguido por uma agressiva firma de Wall Street determinada à dominação financeira, bem como por uma seita que tem a intenção de desvendar os segredos por trás de seus antigos textos sagrados.

Dimensions: esta produção francesa , um experimento acadêmico criado por Jos Leys , Étienne Ghys e Aurélien Alvarez , apresenta em 9 capítulos, duas horas de matemática, para descobrir progressivamente a quarta dimensão. De forma progressiva, começando pela dimensão 2 , passando pela 3 e chegando a quarta dimensão, num desfilo de figuras geométricas de até 600 lados. Há ainda uma analise visual de números complexos, deformação de imagens, fractais e fibração.

Donald no País da matemática: Espécie de documentário voltado para o mundo infantil, no qual Disney usa a animação para explicar como a matemática pode ser fácil de entender e como ela está aplicada em coisas muitos simples do cotidiano. A importância da matemática com os gregos da Antigüidade, os primeiros a descobrirem alguns dos princípios matemáticos básicos, seqüências sucessivas de princípios são relacionados à música, escultura, pintura, arquitetura, mecânica, esportes e outras atividades do nosso dia a dia.

Cubo: Um policial (Maurice Dean Wint), um ladrão (Wayne Robson), uma matemática (Nicole de Boer), uma médica (Nicky Guadagni), um arquiteto (David Hewlett) e um jovem autista (Andrew Miller) são misteriosamente presos em um labirinto de alta tecnologia. Sem comida nem água, eles precisam encontrar um meio de sair do local. Mas precisam também tomar cuidado para não acionar armadilhas letais, que surgem em estranhos cubos. A curiosidade está na chave para sair do cubo : resolver questões lógicas de matemática e raciocínio.

Quebrando a banca: A historia reais de 5 alunos do MIT(Massachusetts Institute of Technology), que desenvolveram a técnica de contagem de cartas para vencer num jogo de cassino chamado de 21, e ganharam milhões de dólares , com a supervisão de um professor (Kevin Spacey) , até serem descobertos.

Número 23: As diversas relações de somatório e subtração são exaustivamente trabalhadas neste filme de conspirações em torno do numero 23. Jim Carrey interpreta um homem que descobre que, todos os acontecimentos de sua vida (passado, presente e até futuro) estão relacionados ao numero.

Alice no País das Maravilhas : Sem duvida , a obra mais completa do cinema a tratar de matemática, mais especificamente de razoes e lógica. Criada por Lewis Carrol, que já tinha sido o professor de matemática, e adaptada pelos estúdios Disney, “Alice...” se tornou cult entre os entendidos em matemática e hoje é um exemplo pratico de filme que se tornou uma leve “ferramenta” ao ensino.

O quarto de Fermat : Quatro matemáticos que não se conhece são reunidos em uma sala. Cada um deles resolveu um enigma proposto por alguém chamado Fermat, e com ele ganharam um convite: uma reunião de matemáticos com o pretexto de resolver o enigma mais importante que já existiu. Uma vez todos juntos, porém, percebem que as suas vidas dependem, unicamente, das suas capacidades em resolver problemas matemáticos.

Flatland: Curioso filme onde figuras geométricas dotadas de características humanas convivem em um universo bidimensional onde a ordem é mantida a ferro e fogo por autoridades poligonais, os nobres, e circulares, o clero. Tudo está em ordem, até a chegada de Lord Sphere, um ser tridimensional. Dublado por atores de verdade de Hollywood é o primeiro expoente da inovação da matemática para ensino a ser distribuída comercialmente.

8. O DIMENSIONS


Esta obra , não distribuída comercialmente (pode ser baixada pelo site oficial (http://www.dimensions-math.org/Dim_PT.htm) , faz um levantamento de temas que, mui itas vezes são trabalhados em sala de aula de forma indireta.

Começa com Hiparco que nasceu em 190 a.C. e morreu por volta de 120 a.C., que foi oi um astrônomo, construtor, cartógrafo e matemático grego da escola de Alexandria e que hoje é considerado o fundador da astronomia científica e também chamado de pai da trigonometria por ter sido o pioneiro na elaboração de uma tabela trigonométrica, com valores de uma série de ângulos, utilizando a idéia pioneira de Hipsicles (180 a. C.), e depois passa para Ptolomeu, que viveu três séculos depois dele, entre 85 e 135 d. C. . Ele também foi grande astrônomo e geógrafo, se inspirou nos trabalhos de Hiparco.

Apresenta-se com eles a noção do que se chama hoje um sistema de coordenadas.

A determinação precisa da forma da Terra tomou muito mais tempo e foi só há algumas dezenas de anos que foi possível medir as dimensões até os centímetros! E a Terra não difere muito de uma esfera: certamente ela é um pouco achatada nos pólos mas o raio polar (6 356,7523142 km, admirem a precisão!) e o raio equatorial (6 378,137 km) não diferem muito. Foi esta a colaboração de Hiparco que serviu de abertura para o filme.

Num segundo momento, Hiparco nos explica uma das grandes idéias matemáticas, que se chama projeção.

Logo conhece-se M.C. Escher (1898-1972) que foi um artista excepcional cujas obras seduzem muito os matemáticos. As suas gravuras mostram mundos paradoxais, mosaicos com simetrias surpreendentes, perspectivas infinitas; que encantam os matemáticos; J. S. Bach (1685-1750) outro artista que fascina os matemáticos também mostrando simetrias extraordinárias e Kurt Gödel (1906-1978) , um matemático que revolucionou a lógica, explorando, simetrias que vinculam um todo a uma de suas partes.Com isso chegamos aos sólidos de Platão e a projeção estereográfica.

Ludwig Schläfli fala da idéia de dimensão, obviamente uma homenagem póstuma. A correlação entre os Poliedros de Schläfli e as dimensões, despertam as primeiras curiosidades sobre o numero de visualizações que se pode ter de figuras, aparentemente poligonais .

Finalmente chegamos aos Números complexos, que é nosso objetivo exemplificador aqui.

9. NÚMEROS COMPLEXOS



A criação do conjunto dos números Reais se deu ao longo de todo o processo de evolução da Matemática, atendendo às necessidades da sociedade. Na busca por novas descobertas, os matemáticos esbarraram em uma situação oriunda da resolução de uma equação do 2º grau. Vamos resolver a equação x² + 2x + 5 = 0 aplicando o Teorema de Bháskara:

Note que ao desenvolver o teorema nos deparamos com a raiz quadrada de um número negativo, sendo impossível a resolução dentro do conjunto dos números Reais, pois não existe número negativo que elevado ao quadrado tenha como resultado número negativo. A resolução destas raízes só foi possível com a criação e adequação dos números complexos, por Leonhard Euler. Os números Complexos são representados pela letra C e mais conhecidos como o número da letra i, sendo designada nesse conjunto a seguinte fundamentação: i² = -1.

Esses estudos levaram os matemáticos ao cálculo das raízes de números negativos, pois com a utilização do termo i² = -1, também conhecido como número imaginário, é possível extrair a raiz quadrada de números negativos. Observe o processo:

O conjunto dos números complexos constitui uma estrutura algébrica denominada corpo. Este corpo é algebricamente fechado. Os complexos possuem também um módulo que, usado como norma, conduz a um espaço normado topologicamente completo.Eles encontram aplicação em numerosos problemas da matemática, física e engenharia, sobretudo da solução de equações algébricas e equações diferenciais.

Mais especificamente, para que serviria os números complexos ?

Os números complexos apareceram no século XVI ao longo das descobertas de procedimentos gerais para resolução de equações algébricas de terceiro e quarto grau. No século XVII os complexos são usados de maneira tímida para facilitar os cálculos. No século XVIII são mais usados na medida que se descobre que os complexos permitem a conexão de vários resultados dispersos da Matemática no conjunto dos números reais. No entanto, nada é feito para esclarecer o significado desses novos números. No século XIX, aparece a representação geométrica dos números complexos, motivada pela necessidade em Geometria, Topografia e Física, de se trabalhar com o conceito de vetor no plano. Os números complexos passam a ser aplicados em várias áreas do conhecimento humano, dentro e fora da Matemática. Por exemplo, quando alguém vai construir algo novo é desejável conhecer previamente o seu desempenho para que a probabilidade de não dar certo seja minimizada.

Para prever o comportamento antes de construir são usados "modelos matemáticos". São expressões e fórmulas que mostram com boa precisão o desempenho do produto a ser construído.

Nem todas áreas utilizam modelos matemáticos que utilizam números complexos. Mas algumas áreas, como motores elétricos, sistemas de amortecimento de veículos utilizam números complexos para simular o comportamento.

10. VARIÁVEIS COMPLEXAS




Se tomarmos um subconjunto A do plano complexo B, uma função complexa será aquela que associará a cada elemento z em A um único número w=f(z) em B. Notações comuns para representar uma função complexa são: f:AtoB, z em Atow=f(z) em B ou w=f(z).

De forma análoga às funções reais, dizemos que f é uma função complexa de variável complexa ,sendo:

z = x + iy ® variável independente de f.

x = Re (z) ® x é a parte real de z

y = Im (z) ® y é a parte imaginária de z

w = u + iv ® variável dependente de f.

u = Re (w) ® u é a parte real de w = f(z)

v = Im (w) ® v é a parte imaginária de w =f(z)

Cada número complexo z = x + iy também pode ser apresentado como o par ordenado (x, y) permitindo representar em um plano coordenado (plano de Argand-Gauss).

Se os números complexos z podem ser representados geometricamente como vetores no plano cartesiano e algebricamente como pares de números reais e na forma algébrica (z=a+bi),estes vetores também podem ser escritos de outra maneira:em coordenadas polares. Este tipo de representação dos números complexos, em coordenadas polares, se chama forma polar e são definidos a partir do módulo e do argumento do número complexo

As relações entre as coordenadas algébricas e as coordenadas polares são calculadas pelas relações do triângulo retângulo que se forma, ou seja,

a = r cos (α), b = r sen(α)

Daí, é fácil ver que o padrão da conversão das coordenadas é dado pelo módulo │z│= e pelo argumento tg (α) = .

Forma polar de um numero complexo, também pode ser denominada de FORMA TRIGONOMÉTRICA.

O sistema de coordenadas polares é um sistema de coordenadas bidimensional no qual a cada ponto ou posição do plano se determina por um ângulo e uma distância.

A representação de uma ou mais variáveis complexas num plano cartesiano se dá da seguinte forma: onde normalmente nomeamos de y, chamaremos de i (imaginário) e onde chamamos de x , nomearemos de Re (números reais).

continuação

Logo, ao representarmos os números

Z = -2 + 2i, Z = 2 + 2i, Z = -2 + 3i e Z = 3 + 2i, teremos :



O gráfico de uma função de variável complexa está no espaço complexo bidimensional, que pode ser identificado naturalmente com o espaço real tetradimensional. Senão vejamos: z = x + iy e w = f(z) = u + iv. Então o ponto (z,f(z)) do gráfico de f pode ser representado como (x,y,u,v) no espaço tetradimensional, e assim o gráfico gera uma superfície nesse espaço. Como se pode estudar esta superfície em sala de aula com precisão?

11. QUESTIONAMENTO

A disposição de dados em coordenadas cartesianas no quadro negro é limitado, e ainda estamos falando apenas do plano tridimensional. Tanto às mãos do professor quanto aos olhos dos alunos, aceita-se a idéia , mas muitas vezes não se compreende. Se podemos dispor uma gravura no quadro negro, e aceita-la , como torná-la palpável a experimentações? Não que seja objetivo supremo, tudo transformar em cotidiano. Mas , e as questões suplementares que possam surgir daí?

As diversas ferramentas disponíveis para o ensino , que hoje perdem um espaço absurdo para internet, possibilitam, não só um entendimento diferenciado, mas aprofundado do assunto. Ricardo Carvalho, integrante do Núcleo de Educação a Distância da Faculdade Sumaré, e também da equipe de professores da pós-graduação da Faculdade de Turismo e Hotelaria do SENAC, em uma de suas diversas pesquisas e experiências envolvendo internet e educação, permitiu que temas de sala de aula, fossem discutidos a distancia, com a ajuda apenas de anotações e clippings feitos em sala de aula. E o que se verificou foi um aumento expressivo e qualitativo do aprendizado de alguns temas,que , em sala de aula, apenas no “cuspe e giz” não surtiram tal efeito.

Explica-se; eram alunos de economia, e os exaustivos dados (que podem envolver desde tabelas a longos gráficos) foram de um certa forma aperfeiçoados, na hora de estudar, graças a ferramenta internet. Terminado esta fase de aprendizado, o tema era levado novamente a sala de aula, para uma última e debatida avaliação. Mesmo assim, a ferramenta internet entrava no final do processo, como forma de fórum, para as discussões complementares.

Voltemos a questão dos complexos. Como vimos, sua representação gráfica, fica, por vezes defasada quando aplicada em quadro negro. O tridimensional, como já foi visto inúmeras vezes, é colocado , aceitado , mas deve ser convencido pelo professor. Eis que se apresenta uma ferramenta tão familiar quanto o cinema, que por vezes é tomado apenas como forma de lazer. Mas como vimos no item “Cinema e Educação” deste trabalho, é uma forma mais que viável de se ensinar e aprender. É um recurso de mídia eletrônica como disposto por Fábio Gonçalves Teixeira , Régio P. da Silva , Tânia L. K. da Silva, da universidade Federal do Rio Grande do Sul em seu trabalho “O uso de mídias eletrônicas no ensino: A experiência da modernização do ensino de geometria descritiva”.

Um bom exemplo destes recursos são as mídias eletrônicas que podem, quando bem aproveitadas, alavancar o aprendizado dos estudantes em matérias onde é necessário um alto grau de abstração para a sua compreensão

E não só pela questão gráfica dos complexos, o que tornaria nossa discussão ínfima, mas ; tomar conhecimento de que um tema mereceu abordagem cinematográfica; usar isso como uma segunda opinião (obviamente sempre apoiada no controle pedagógico do professor) e; poder complementar o ensino em sala de aula, com novas discussões, nos leva a pensar na utilização do cinema em sala como ferramenta sim, de aprendizado.

E é aí que entra o Dimensions. Para esse entender, se faz necessário uma ligação direta do exposto nos capítulos Números complexos e Variáveis Complexas deste trabalho com os próximos.

12. CONCEITO DE DIMENSÃO

Na matemática, dimensão de um espaço é quantidade de parâmetros necessários para identificar um ponto desse espaço.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o

13. COMO O DIMENSIONS FALA DE NÚMEROS COMPLEXOS


O professor Adrien Douady (matemático francês que viveu 25 de setembro de 1935 – Saint-Raphaël a 2 de novembro de 2006) foi um que teve toda sua obra baseada nos números complexos é quem apresenta e direciona o estudo dentro do filme. Ao lado de Tartaglia e Cardano, pioneiros renascentistas, e Cauchy e Gauss que consolidaram a teoria no Século XIX, ele apresenta os números complexos que anteriormente eram chamados de números impossíveis e posteriormente de números imaginários relacionando-os com a ciência dos fractais.

A teoria dos complexos gera conjuntos fractais que, hoje, podem ser representados graças aos computadores. Adrien Douady incentivou a produção deste tipo de imagem, e ao mesmo tempo, esta produção ajudou o matemático no seu trabalho de popularizar a matemática na sociedade.

Adrien Douady nem qualquer outro mestre poderia explicar toda a teoria dos números complexos em dois capítulos, como propõe este filme . Estes não podem substituir um professor ou um livro. É necessário considerar estes capítulos como complementos ou ilustrações que incentivam saber mais. O filme procura destacar o lado geométrico destes números complexos.

Durante muito tempo, a raiz de -1 era uma impossibilidade. Foi na Renascença que, alguns pensadores ousaram a utilizá-la: se era possível se escrever um numero Ö-1, por que não brincar com suas variantes como 2 + Ö-1 ? Estes pensadores constataram que era possível se utilizar destes números e não entrar em contradição.

Estes pioneiros então constataram de certa maneira, experimental, que calcular com estes números impossíveis não parecia levar a contradições, de modo que estes novos números gradualmente foram aceitos pelos matemáticos, sem verdadeiras justificativas. Como não é objetivo deste trabalho ir tão a fundo na historia destes números, vale salientar a existência de um artigo , escrito por Argand, que disseca o Item mais detalhadamente.

14. GRÁFICO



Sabemos que dispor coordenadas em um plano é possível e palpável. Porém estamos falando de números inteiros ou reais. Quando nos deparamos com a existência dos complexos , devemos por conveniência criar um ambiente gráfico que nos remeta a familiaridade de nossa matemática. Isso já foi dito nos capítulos anteriores deste trabalho.

O Dimensions por sua vez, dispõe dados nos gráficos de forma dinâmica.

Se não vejamos:

Plotar 1 + 2i, se tornar fácil às mãos , desde que trabalhemos com as retas Im e Re. O múltiplo deste numero , como por exemplo 2 + 4i, nos remeteria a uma nova construção, seja no quadro ou no caderno. Num entendimento superior, apenas aumentaríamos a reta , a cada desejo de multiplicidade.

Mas o que querermos comparar é a amostra das infinitas variâncias , o que num quadro negro nos complicaria ou tornaria nosso desenho, sendo o melhor arquiteto do mundo ou não, defasado. Desta forma o Dimensions nos permite visualizar quase que 20 variantes em 5 segundos.

No caso da disposição de 3 pontos e suas coordenadas polares , realizar operações como adição, ou subtração, e mais uma vez observar suas diversas variantes.

A projeção estereográfica (tipo de projeção em que a superfície de uma esfera é representada sobre um plano tangente a ela) ainda se torna possível de visualizar e ensinar: se pensarmos no plano tangente ao pólo sul como uma reta complexa.

Imagem 07


Foto do quadro negro do filme Dimensions , referente a projeção esferográfica de variáveis complexas num plano cartesiano.

15. REFERENCIAS

GRIERSON, John .Primeiros Princípios do Documentário. Campinas , Cinemais, 1997., p.66.

BENJAMIN, Walter . Magia e Técnica, Arte e Política. Texto.A Obra de Arte na Era de Sua Reprodutibilidade Técnica1985. Ed. BRasileinse.

FERRO, Marc. Cinema e História. São Paulo: Paz e Terra, 1992.

M. Spiegel Variáveis Complexas com uma introdução as transformações conformes e suas aplicações. Editora McGraw-Hill do Brasil, LTDA 1972.

Sites:

antigaleria.yolasite.com/cinema-educativo.php

planetaeducacao.com.br/novo/impressao.asp?artigo=825

www.dimensions-math.org/Dim_PT.htm

AS POSSIBILIDADES DIDÁTICAS DO CINEMA PARA MATEMATICA EM SALA DE AULA – DIMENSIONS E NÚMEROS COMPLEXOS

Cássio Marcelo Reis Pereira

Discente do Curso de Lic. Plena em Matemática

Orientador: Andréia Dalcin

Credenciamento: Mestrado em Educação.
Linha de Pesquisa: Educação em Ciências e Matemática.
Grupo de Pesquisa em Educação Matemática.

Doutora em Educação pela Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Temática de Pesquisa: História da Educação Matemática no Brasil / Filosofia da Educação Matemática / Livros didáticos e paradidáticos de Matemática / Educação a Distância mediada por ambientes virtuais de aprendizagem.


Este trabalho apresenta os elementos que constituem a estrutura do trabalho da disciplina Prática IV - Seminários de Matemática Aplicada e Pesquisa em Ensino, bem como apresenta de forma geral as regras de apresentação, o resumo, a citação no texto e as referências. As orientações aqui apresentadas baseiam-se na norma para apresentação de artigo científico, a NBR 6022 de 2003 tendo como base o texto “Como elaborar um artigo cientifico” da Universidade de Santa Catarina.

Palavras-chave: Cinema; Educação; Matemática ; Sala de aula; Dimensions .