10. VARIÁVEIS COMPLEXAS

Se tomarmos um subconjunto A do plano complexo B, uma função complexa será aquela que associará a cada elemento z em A um único número w=f(z) em B. Notações comuns para representar uma função complexa são: f:AB, z em Aw=f(z) em B ou w=f(z).

De forma análoga às funções reais, dizemos que f é uma função complexa de variável complexa ,sendo:

z = x + iy ® variável independente de f.

x = Re (z) ® x é a parte real de z

y = Im (z) ® y é a parte imaginária de z

w = u + iv ® variável dependente de f.

u = Re (w) ® u é a parte real de w = f(z)

v = Im (w) ® v é a parte imaginária de w =f(z)

Cada número complexo z = x + iy também pode ser apresentado como o par ordenado (x, y) permitindo representar em um plano coordenado (plano de Argand-Gauss).

Se os números complexos z podem ser representados geometricamente como vetores no plano cartesiano e algebricamente como pares de números reais e na forma algébrica (z=a+bi),estes vetores também podem ser escritos de outra maneira:em coordenadas polares. Este tipo de representação dos números complexos, em coordenadas polares, se chama forma polar e são definidos a partir do módulo e do argumento do número complexo

As relações entre as coordenadas algébricas e as coordenadas polares são calculadas pelas relações do triângulo retângulo que se forma, ou seja,

a = r cos (α), b = r sen(α)

Daí, é fácil ver que o padrão da conversão das coordenadas é dado pelo módulo │z│= e pelo argumento tg (α) = .

Forma polar de um numero complexo, também pode ser denominada de FORMA TRIGONOMÉTRICA.

O sistema de coordenadas polares é um sistema de coordenadas bidimensional no qual a cada ponto ou posição do plano se determina por um ângulo e uma distância.

A representação de uma ou mais variáveis complexas num plano cartesiano se dá da seguinte forma: onde normalmente nomeamos de y, chamaremos de i (imaginário) e onde chamamos de x , nomearemos de Re (números reais).